Peluang Suatu Kejadian
Teori peluang adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari ketidakpastian. Ilmi ini awalnya dikembangkan dari permainan spekulasi, seperti permainan kartu remi dan pelemparan dadu.
Pada awalnya, teori peluang diaplikasikan untuk menentukan kemungkinan memenangkan suatu permainan judi. Setelah berkembang, teori ini diperlukan dalam penyelesaian masalah dalam berbagai bidang seperti meteorology, asuransi dan industry. Sebagai contoh, dalam proses pengeringan kue, kejadian cacat adalah kue pecah atau hancur. Kemungkinan kejadian cacat dalam periode produksi dapat dijelaskan dengan teori peluang. Bahkan teori peluang mendasari kebanyakan metode-metode statistik, yaitu suatu bidang matematika yang aplikasinya hamper meliputi setiap area kehidupan modern.
1.2 Rumusan Masalah
- Menjelaskan pengertian percobaan, ruang sampel dan kejadian
- Menjelaskan cara menyatakan ruang sampel dari suatu percobaan
- Menjelaskan cara menentukan peluang suatu keejadian
- Menjelaskan pengertian frekuensi harapan
- Menjelaskan cara menentukan frekuensi harapan suatu kejadian
1.3 Tujuan
- Mengetahui pengertian percobaan, ruang sampel dan kejadian
- Mengetahui cara menyatakan ruang sampel dari suatu percobaan
- Mengetahui cara menentukan peluang suatu kejadian
- Mengetahui pengertian frekuensi harapan
- Mengetahui cara menentukan frekuensi harapan suatu kejadian
BAB II
ISI
Kegiatan mengetos uang logam dan mengetos dadu disebut percobaan. Dalam setiap percobaan, selalu ada hasil. Sebagai contoh, percobaan mengetos uang logam, hasilnya muncul sisi angka (A) atau sisi gambar (G).
Percobaan adalah suatu kejadian yang memberikan suatu hasil yang dapat diamati. Hasil yang diamati dalam suatu percobaan disebut hasil percobaan.
Himpunan dari semua hasil yang mungkin untuk suatu percobaan disebut ruang sampel. Sebagai contoh, untuk percobaan mengetos uang logam, ruang sampel diberi notasi S (singkatan dari “sampel”) dapat dinyatakan sebagai :
S = {A, G}
Untuk percobaan mengetos dadu, ruang sampelnya dapat dinyatakan sebagai berikut :
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Tiap elemen dalam ruang sampel S disebut titik sampel. Titik-titik sampel untuk percobaan mengetos uang logam adalah A dan G. Titik-titik sampel untuk percobaan mengetos dadu adalah 1, 2, 3, 4, 5 dan 6.
2.1.1. Menyatakan Ruang Sampel dari Suatu Percobaan
Untuk meyatakan ruang sampel dari suatu percobaan, semua hasil yang mungkin perlu terlebih dahulu didaftar. Hal ini dapat dilakukan menggunakan diagram pohon ataupun tabel.
a. Percobaan mengetos dua uang logam
- Menggunakan tabel
|
2
1
|
A
|
G
|
|
A
|
AA
|
AG
|
|
G
|
GA
|
GG
|
- Menggunakan diagram pohon
Dengan demikian, ruang sampelnya adalah S = {AA, AG, GA GG}
b. Percobaan mengetos dadu dan kemudian uang logam
- Menggunakan tabel
| 2 1 |
A
|
G
|
|
1
|
1A
|
1G
|
|
2
|
2A
|
2G
|
|
3
|
3A
|
3G
|
|
4
|
4A
|
4G
|
|
5
|
5A
|
5G
|
|
6
|
6A
|
6G
|
Dengan demikian, ruang sampelnya adalah S = {1A, 1G, 2A, 2G, 3A, 3G, 4A, 4G, 5A, 5G, 6A, 6G}
Suatu kejadian atau event, diberi notasi E, didefinisikan sebagai suatu himpunan bagian dari suatu ruang sampel. Suatu kejadian yang hanya memiliki sati titik sampel dalam S disebut kejadian sederhana. Dan suatu kejadian yang memiliki lebih dari satu titik sampel dalam S disebut kejadian majemuk.
2.2. Peluang Suatu Kejadian
Dalam percobaan mengetis satu keeping uang logam, hasil percobaan yang mungkin muncul adalah muncul A atau G. Dalam suatu pengetosan, tidak dapat dipastikan apakah akan muncul A atau G. Untuk uang logam yang sempurna (homogeny, simetris dan tidak cacat) dapat diasumsikan bahwa kemungkinan muncul A atau G adalah sama. Untuk uang logam dittos sebanyak 100 kali, sisi A muncul kira-kira 50 kali.
Ketika dilakukan pengetosan uang logam sebanyak n kali dan akan diamati salah satu sisinya, misalnya sisi A, jika sisi A muncul k kali dalam n kali percobaan maka harga disebut frekuensi relatif. Jika n makin besar maka harga akan mendekati suatu harga mantap, yaitu . Harga mantap inilah yang merupakan dasar dari teori peluang. Dengan demikian, dalam pengertian peluang, selalu diambil asumsi dasar bahwa kemungkinan muncul salah satu elemen dalam ruang contoh S adalah sama dengan kemungkinan muncul elemen lainnya.
Pada percobaan mengetos sekeping uang logam, sisi uang logam ada dua, yaitu A dan G. Sesuai dengan asumsi dasar, kemungkinan muncul A sama dengan kemungkinan muncul G sehingga :
P (A) = P (G) =
Pada percobaan mengetos sebuah dadu mata enam, yaitu mata 1, 2, 3, 4, 5 dan mata 6. Sesuai dengan asumsi dasar, kemungkinan muncul salah satu mata dadu sama dengan kemungkinan muncul mata dadu lainnya, sehingga :
P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) =
Jika suatu kejadian E dapat terjadi dengan k cara sedangkan semua kemungkinan dari hasil percobaan dapat terjadi dengan n cara maka peluang dari kejadian E, diberi notasi P(E) adalah :
P(E) =
Jika digunakan notasi himpunan maka dapat dijadikan sebagai berikut :
1. Jika S adalah ruang sampel dengan banyak elemen = n(S) dan E adalah suatu kejadian dengan banyak elemen = n(E) maka peluang kejadian E, diberi notasi P(E), diberikan notasi oleh : P(E) =
2. 0 < n(E) < n(S)
(ketiga ruas dibagi dengan n(S)
0 < P(E) < 1
Persamaandi atas menyatakan kisaran nilai peluang, yaitu suatu angka yang terletak di antara 0 dan 1.
3. P(E) =1 adalah kejadian pasti karena kejadian ini selalu terjadi.
P(E) = 0 adalah kejadian mustahil karena kejadian ini tidak mungkin terjadi.
2.2.1 Menentukan Peluang Suatu Kejadian
Adapun langkah-langkah untuk menetukan nilai peluang suatu kejadian adalah sebagai berikut :
1. Menuliskan ruang sampel dari percobaan yang dilakukan
2. Menuliskan himpunan yang berhubungan dengan kejadian
3. Menentukan nilai peluang suatu kejadian
Contoh 1
Dari pengetosan dua buah dadu, tentukan peluang munculnya mata dadu yang berjumlah 7.
Penyelesaian :
1. Menuliskan ruang sampel dari percobaan yang dilakukan
Untuk menyatakan ruang sampel dari percobaan ini perlu terlebih dahulu didaftar semua hasil yang mungkin. Hal ini dilakukan dengan menggunakan tabel.
| 2 1 |
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
|
1
|
(1,1)
|
(1,2)
|
(1,3)
|
(1,4)
|
(1,5)
|
(1,6)
|
|
2
|
(2,1)
|
(2,2)
|
(2,3)
|
(2,4)
|
(2,5)
|
(2,6)
|
|
3
|
(3,1)
|
(3,2)
|
(3,3)
|
(3,4)
|
(3,5)
|
(3,6)
|
|
4
|
(4,1)
|
(4,2)
|
(4,3)
|
(4,4)
|
(4,5)
|
(4,6)
|
|
5
|
(5,1)
|
(5,2)
|
(5,3)
|
(5,4)
|
(5,5)
|
(5,6)
|
|
6
|
(6,1)
|
(6,2)
|
(6,3)
|
(6,4)
|
(6,5)
|
(6,6)
|
2. Menuliskan himpunan yang berhubungan dengan kejadian
E = {((1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}
n(E) = 6
3. Menentukan nilai peluang suatu kejadian
P(E) =
=
=
Maka nilai peluang munculnya mata dadu yang berjumlah 7 adalah
Contoh 2
Tiga belas kartu diberi angka 1, 2, 3, …, 13. Kartu tersebut dikocok, kemudian diambil satu kartu secara acak (secara sembarangan). Tentukan peluang muncul kartu berangka ganjil.
Penyelesaian
1. Menuliskan ruang sampel dari percobaan yang dilakukan
Ruang sampel dalam percobaan ini adalah angka-angka 1 sampai dengan 13. Maka n(S) = 13.
2. Menuliskan himpunan yang berhubungan dengan kejadian
Kejadian E muncul kartu berangka ganjil, dapat ditulis E ={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13}. Sehingga n(E) = 7.
3. Menentukan nilai peluang suatu kejadian
P(E) =
=
Maka nilai peluang munculnya kartu berangka ganjil adalah .
2.3. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian
Frekuensi harapan suatu kejadian (diberi notasi F(E)) didefinisikan sebagai hasil kali banyak percobaan (n kali) dan peluang kejadian akan terjadi dalam suatu percobaan, P(E). Secara matematis diberikan oleh
F(E) = n x P(E)
Contoh 3
Misalkan dilakukan percobaan menarik secara acak sebuah kartu dari satu set kartu remi, kemudian mengembalikannya (satu set kartu remi terdiri dari 52 kartu). Tentukan frekuensi harapan yang terambil adalah kartu As jika percobaan dilakukan 78 kali.
Penyelesaian
Peluang kejadian E akan dihitung dahulu, yaitu terambilnya sebuah kartu As dari satu set kartu remi.
Banyak elemen ruang sampel S, n(S) = 52
Banyak kartu As ada empat, n(E) = 4
Peluang kejadian terambil kartu As, diberikan oleh
P(E) =
=
=
Frekuensi harapan yang terambil kartu As dalam 78 kali percobaan adalah
F(E) = n x P(E)
= 78 x
= 6
0 komentar:
Posting Komentar